0 引言

低功耗及自供电是物联网时代的发展主流。物联网是互联网络与传感器网络的融合，通过各种传感器实时采集信息并通过各类可能的网络接入，实现物与物、物与人的泛在连接以及对物品和过程的智能化感知、识别和管理。感知层是物联网的核心，通过传感网络获取环境信息^[1]。目前多数传感器节点由电池^[2]或外接电源供电^[3]，也有部分研究表明节点可通过收集周围环境能量实现自供电，如太阳能、机械振动能、温差能等。通常由环境能量供电的无线传感器节点使用可充电电池^[4-7]、超级电容 ^[8-10]或混合采用 ^[11-13]两者来储存能量。

尽管可充电电池容量高且泄漏率低，但其循环寿命会限制传感器节点的寿命^[8]，充放电循环中的老化过程会导致电池容量逐渐降低、内部电阻逐渐增加^[14]。例如，镍氢电池^[5]和锂离子电池^[7]的循环寿命分别为500~800次和1 000~1 200次。超级电容具有更长的循环寿命，一般超过50万次且充放电效率更高^[9]。但超级电容的自放电特性也会导致存储能量的损失和端电压的下降，不利于低功耗自供电设备的电源管理，所以全面理解超级电容自放电的动态特性，研究能够准确预测超级电容端电压变化的模型非常重要。超级电容自放电过程可分成线性过程及非线性过程，端电压线性下降阶段可以用漏电流机理进行解释，而非线性部分则涉及到法拉第氧化还原机理和电荷再分配机理。在实际应用中一般只考虑线性部分^[15]。

超级电容的等效电路模型可模拟并预测自放电现象，其原理是用电路来等效超级电容的内部结构，复杂度低且精度好。其中最简单的是标准R-C模型^[16]，但模拟性能并不理想。文献[17]提出包含3个R-C支路的模型，考虑了电荷再分配及自放电现象，需要1种8个步骤的测试计算方法，且对测试精度要求很高。文献[18]提出包含3个R-C支路及1个漏电阻的模型来模拟超级电容的自放电过程，对不同规格的超级电容分别作了研究，估算出了不同规格超级电容的模型参数。文献[19-20]针对无线传感器网络中使用的超级电容提出了可变漏电阻(variable leakage resistance，VLR)模型，实验结果证明VLR模型在预测超级电容自放电过程方面，精度比传统三支路R-C模型高且更实用。

文中设计了基于超级电容器单体且可应用于低功耗自供电设备的储能模块，参考VLR模型建立了该储能模块的等效VLR电路模型，分析了储能模块自放电现象并进行端电压变化预测，最后通过实验验证了该模型的精确性。

1 储能模块及自放电模型的参数确定 1.1 储能模块及实验设备介绍

对于采用高输出阻抗的环境能量采集器，其电源管理单元一般选用降压型的稳压器，使单元输出如3.3 V，3.6 V之类的稳定直流电压。亚德诺半导体技术公司提供的电源管理芯片LTC3588-1可为上述应用提供较完美的解决方案。LTC3588-1的最大输入电压为20 V，输出电压有1.8 V，2.5 V，3.3 V，3.6 V。考虑到储能模块可能的应用范围，文中采用中国台湾CDA公司的CXHP系列额定电压2.7 V，标称容量0.5 F的10个超级电容器单体串联组成储能模块。其理论额定电压27 V，标称容量0.05 F。但考虑到模块的充放电寿命以及超级电容器单体一致性较差的问题，为提高安全系数，增加安全余量，该模块的实际工作电压不应超过20 V。

实验原理如图 1所示，储能模块通过直流稳压电源进行充电，台式万用表采集储能模块电压变化并通过USB接口与计算机相互通信。借助专门设计的用户界面和相应的测试程序，可以轻松地从计算机上获得和观察实验结果。与专用仪器相比，该设备测试过程简单方便、精度良好。文中储能模块相关参数的确定都基于此实验设备测量获得。

1.2 储能模块自放电模型及相关参数

储能模块由超级电容器单体串联组成，因此仍基于单体的VLR模型^[19-20]来假设储能模块的自放电现象。如图 2所示，包含R₁和C₁的第一分支为主分支，微分电容C₁是恒定电容C₀和电压相关电容K_V ·V的总和，主分支对超级电容的充放电行为产生即时响应，代表了充放电循环过程中短时间内电压的线性变化^{[17, 21]}。包含R₂和C₂的第二分支代表了自放电过程中长期的电荷再分配现象^{[17, 21]}。包含可变漏电阻R₃的第三分支代表了由漏电流主导的自放电过程，其值随着自放电时间而变化^[19-20]。VLR模型中主分支和第二分支中的5个参数R₁，C₀，K_V，R₂，C₂可通过测量计算储能模块充电和电荷在分配过程的电压变化特性曲线来获得。

图 3为直流稳压电源以0.01 A的恒定电流I_C给储能模块充电时, 主支路的电压变化图。在充电过程中，假设所有的电流I_C都只经过主分支，刚接通充电电流I_C的很短时间内微分电容C₁可以认为是断开状态，此时电阻R₁的电压为ΔV，微分电容C₁接通并开始充电的很短时间内主支路电压变化速率会有所下降。

综上所述，R₁的值可以通过初始电压变化量ΔV与充电电流I_C的比值来确定，如式(1)所示。

$R_{1}=\Delta V / I_{\mathrm{C}} $

(1)

图 4为充电阶段，使用直流稳压电源在200 s内以恒定电流I_C给储能模块充电至20 V后关闭电源，模块内部在接下来的1 000 s内进行电荷再分配的电压时间关系曲线。因此，主分支的参数C₀及K_V可以通过式(2)确定^[20]。

$\left\{\begin{array}{l} C_{0}=\left(\frac{t_{1}}{V_{1}}-\frac{V_{1} t_{2}-t_{1} V_{2}}{V_{2}^{2}-V_{1} V_{2}}\right) I_{\mathrm{C}} \\ K_{\mathrm{V}}=2\left(\frac{V_{1} t_{2}-t_{1} V_{2}}{V_{1} V_{2}^{2}-V_{1}^{2} V_{2}}\right) I_{\mathrm{C}} \end{array}\right. $

(2)

需要指出的是，P₁，P₂的选取应尽可能多地覆盖整个充电阶段。确定主分支的参数后，就能确定第二分支的参数^[21]。在电荷再分配阶段，储存在主分支中的部分电荷将重新分配到第二分支，如果第二分支的时间常数τ₂ = R₂C₂固定，则可认为2个分支的电压在3τ₂时刻相等。根据此时储能模块的端电压V_2f，时间常数τ₂预估为240 s，则C₂可以通过式(3)确定^[21], 其中T_C为充电阶段的持续时间。

$ Q_{\mathrm{tot}}=I_{\mathrm{C}} T_{\mathrm{C}}=C_{2} V_{2 \mathrm{f}}+\left(C_{0}+\frac{K_{\mathrm{V}}}{2} V_{2 \mathrm{f}}\right) V_{2 \mathrm{f}} $

(3)

根据多次实验测试结果，表 1列出了文中所搭建的0.05 F储能模块VLR模型的主分支和第二分支的模型参数值。通过5组测试数据可以发现，储能模块的相关参数测试结果一致性较好，能用于VLR模型的相关分析与计算。

2 储能模块的自放电分析

用于分析自放电过程的等效电路模型见图 5，电源移除后储能模块通过R₃进行自放电。R₃随自放电时间变化，电压V₃可通过实验测量得到。

使用直流稳压电源将储能模块充电至20 V，断开电源并在未来3 h内测量储能模块开路电压，自放电过程中储能模块端电压即V₃的变化见图 6。

3个分支电流的关系可以通过基尔霍夫电流定律确定，如式(4)所示。

$ I_{3}=-I_{1}-I_{2} $

(4)

通过确定I₃以及自放电期间测量得到的储能模块端电压V₃，可得R₃为：

$ R_{3}=V_{3} / I_{3} $

(5)

其中，主分支电流I₁计算如下：

$ \begin{gathered} I_{1}=\frac{\mathrm{d}\left(C_{1} V_{1}\right)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}\left(C_{0}+K_{V} V_{1}\right) V_{1}}{\mathrm{~d} t}= \\ \left(C_{0}+2 K_{V} V_{1}\right) \frac{\mathrm{d} V_{1}}{\mathrm{~d} t} \end{gathered} $

(6)

微分电容C₁上电压V₁与V₃的关系为：

$ V_{1}=V_{3}-I_{1} R_{1} $

(7)

第二分支电流I₂及电压V₂的关系为：

$ I_{2}=\frac{\mathrm{d}\left(C_{2} V_{2}\right)}{\mathrm{d} t}=C_{2} \frac{\mathrm{d} V_{2}}{\mathrm{~d} t} $

(8)

$ V_{2}=V_{3}-I_{2} R_{2} $

(9)

联立式(4)—式(9)，将建立自放电电流I₃与R₃之间的微分方程。这类微分方程较难获得解析解，可采用Matlab/Simulink数值仿真软件，利用ODE45求解器，获得R₃与V₃之间的关系。求解过程中，应首先获得V₃随时间的变化关系。但在自放电过程初始阶段，V₃较大且下降较为明显，计算得到的R₃值无明显波动现象；而当V₃较低时，其变化趋于平缓，此时由于测量电路噪声影响，R₃的波动较为激烈。若测试得到下一时刻的V₃值突然大于前一时刻值，R₃值甚至将变为负值，明显无实际物理意义。针对该问题，可通过设置V₃在不同阶段的实际采样频率或改变仿真步长避免。

将储能模块3 h内测得的电压变化值V₃作为输入，仿真计算得到的R₃阻值变化如图 7所示，在自放电期间，R₃阻值前1 h内从6 kΩ迅速增加到2 166 kΩ，在自放电进行3 h后缓慢增加到2 979 kΩ。图 8为仿真得到的R₃随V₃变化的关系曲线。V₃从20 V降至18.78 V时，可变漏电阻R₃从6 kΩ迅速增加到100 kΩ；V₃从18.78 V降低到18.36 V时，R₃从100 kΩ迅速增加至2 166 kΩ；V₃从18.36 V降至17.89 V时，R₃从2 166 kΩ缓慢增加到2 979 kΩ。

3 储能模块自放电特征的实验验证

为了更直观地描述和分析R₃与V₃的关系并得到一个便于后续测试误差修正或数学计算的结果，文中对R₃进行了分段线性拟合。基于连续分段线性函数拟合思想，采用全局优化算法找到最佳断点位置，再针对不同的断点位置使用最小二乘法拟合得到最终的分段函数，如图 8和式(10)所示，R₃分段线性拟合结果与实际仿真数据相吻合。

$ R_{3}=\left\{\begin{array}{c} \left(-0.172 V_{3}+3.377\right) \times 10^{7} \\ V_{3}=(17.89,18.36) \\ \left(-0.492 V_{3}+9.248\right) \times 10^{7} \\ V_{3}=(18.36,18.78) \\ \left(-0.218 V_{3}+4.193\right) \times 10^{6} \\ V_{3}=(18.78,19.17) \\ \left(-0.114 V_{3}+2.329\right) \times 10^{5} \\ V_{3}=(19.17,20.00) \end{array}\right. $

(10)

将图 5所示的VLR电路模型用于预测储能模块在自放电期间的电压变化，由表 1和式(10)可得该0.05 F储能模块的模型参数。图 9为该等效模型预测的超级电容电压变化及实验测试结果，可以明显发现，2种结果数据吻合良好。

4 结语

文中首先搭建了一个基于超级电容器单体的储能模块，建立了用于研究模块自放电现象的VLR模型，并对模型相关参数进行了测试。借助实验测试获得的储能模块自放电电压数据，采用数值仿真软件计算得到模块可变漏电阻值，同时对其进行分段线性化拟合。研究结果可以计算预测基于超级电容器搭建的储能模块的自放电电压，为后续供电设备的电源管理单元设计、功耗优化甚至测试奠定了基础。